Bestimmung der effektiven elastischen Materialparameter von Lattice-Strukturen in Z88

Im Kontext von Leichtbau und der Einsparung von Ressourcen sind in den letzten Jahren in Verbindung mit einer weiteren Verbreitung additiver Fertigungsverfahren und der damit einhergehenden Gestaltungsfreiheit neben herkömmlichen Verbundmaterialien und Schäumen auch immer wieder strukturgefüllte Bauteile in den Fokus wissenschaftlicher Veröffentlichungen gerückt. Eine Übersicht über verschiedene gebräuchliche Füllstrukturen ist in Abbildung 1 gezeigt.

Abbildung 1: Verschiedene Gitterstrukturen im Überblick, von links nach rechts: dreieckige Wabenstruktur, sechseckige Wabenstruktur (in Anlehnung an Bienenwaben im Englischen auch Honeycomb genannt), kubische Gitteratruktur und Kelvin-Gitterstruktur

Solche Füllstrukturen, im Englischen als Lattice-Strukturen bezeichnet, setzen sich aus einzelnen, gleichartigen Gitterbausteinen zusammen, den sogenannten Einheitszellen. Die meisten der gebräuchlichen Einheitszellen weisen drei senkrecht aufeinander stehende Symmetrieebenen auf [1], wie Abbildung 2 am Beispiel einer Einheitszelle des Kelvin-Gitters veranschaulicht.

Abbildung 2: Symmetrieebenen einer Kelvin-Gitterzelle

Durch eine auf die Lastrichtung abgestimmte Orientierung einer solchen Lattice-Struktur, kann Material eingespart werden [2]. Wichtige Kenngrößen für solche Gitterstrukturen sind die auf den durch die Struktur eingenommenen Bauraum bezogene relative Materialdichte, die Zellgröße oder auch Parameter, welche die Maße der Lattice-Struktur definieren. Für eine Auslegung strukturgefüllter Bauteile kann es von Vorteil sein, effektive elastische Konstanten der betrachteten Strukturen zu kennen. Diese können simulativ über die Betrachtung einer Einheitszelle, auch Repräsentatives Volumenelement (RVE) genannt, beispielsweise in einem uniaxialen Zugversuch, bestimmt werden. Zur Abbildung des uniaxialen Belastungszustandes in der Simulation werden auf die Knoten der sechs Seitenflächen der FE-Modelle verschiedene Rand- und Zwangsbedingungen aufgeprägt. Diese werden in nachfolgenden Abschnitten noch detaillierter behandelt und sind in den Abbildungen 5 und 8 veranschaulicht. Die Symmetriebedingungen können in der Simulation durch das Sperren der Knotenfreiheitsgrade normal zu den Symmetrieebenen abgebildet werden. Im Weiteren werden diese allerdings nicht weiter betrachtet und stattdessen mit der vollständigen Einheitszelle gearbeitet.

Die Zuglast wird den Knoten der betroffenen Fläche als Verschiebungsrandbedingung zugewiesen. Die Berücksichtigung des elastischen Umfelds bei der Einheitszellensimulation erfolgt über die Definition periodischer Randbedingungen. Im Fall des uniaxialen Belastungszustands folgt aus dem Periodizitätsprinzip, dass jeweils zwei gegenüberliegende Seitenflächen des RVE eben und parallel zueinander bleiben müssen. Diese Parallelitäts- und Planaritätsbedingungen lassen sich mathematisch in Form linearer Zwangsbedingungen formulieren:

\mathbf{G}u=g_\mathrm{r}

Zur Berücksichtigung dieser Zwangsbedingungen innerhalb der Simulation wurde der nichtlineare Berechnungskern im Rahmen des Forschungsprojekts „Simulationsgestützte Entwicklung eines graduellen Sehnenersatzmaterials“ (Oberfrankenstiftung, P-Nr. 05266) entsprechend erweitert und eine Schnittstelle zur Definition der Zwangsbedingungen implementiert. Eine Zuweisung der Parallelitäts- und Planaritätsbedingungen auf die Knoten der betroffenen Seitenflächen kann händisch oder automatisiert erfolgen. Letzteres kann beispielsweise über die Verwendung eines Matlab-Skripts realisiert werden. [3]

Bestimmung der anisotropen Materialeigenschaften

Anders als im isotropen Fall ist das elastische Verhalten von Gitterstrukturen richtungsabhängig. Ein einfacher Zugversuch ist zur Charakterisierung des effektiven elastischen Materialverhaltens nicht mehr ausreichend. Vielmehr ist ein Zugversuch für jede der drei Raumrichtungen erforderlich, um die richtungsabhängige Zugsteifigkeit bestimmen zu können. Ferner müssen drei Schubversuche zur Bestimmung der Schubsteifigkeiten um alle drei Achsen ausgeführt werden. Insgesamt lassen sich auf diese Weise neun unabhängige Materialparameter zur Beschreibung des orthotropen Verhaltens ermitteln: drei E-Moduli (E_{11}, E_{22}, E_{33})  zur Charakterisierung der Zugsteifigkeit, drei Schubmoduli (G_{12}, G_{13}, G_{23}) für die Schubfestigkeit sowie drei Poisson-Zahlen (\nu_{12}, \nu_{13}, \nu_{23}) zur Beschreibung des Querdehnungsverhaltens. Abbildung 3 zeigt die sechs zu simulierenden Prüfversuche mit einer Zuordnung der resultierenden Materialparameter. Um das elastische Umfeld der Einheitszelle berücksichtigen zu können, werden innerhalb der RVE-Simulationen periodische Randbedingungen zwischen den jeweils gegenüberliegenden Seitenflächen definiert.

Abbildung 3: Sechs unterschiedliche Belastungszustände zur Charakterisierung des elastischen Materialparameter in Abhängigkeit der Belastungsrichtung

Im Allgemeinen sind die neun Materialparameter nicht konstant, sondern lastabhängig, wodurch die mathematische Beschreibung des elastischen Verhaltens in Form einer konstitutiven Gleichung sehr komplex wird. Ein allgemeingültiges Materialmodell ist aus der Literatur nicht bekannt. In vielen Fällen kann jedoch vereinfachend ein linear-elastisches Materialverhalten angenommen werden, bei welchem die neun elastischen Materialparameter als konstant angenommen werden. In diesem Fall lässt sich das orthotrope Hookesche Gesetz zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Spannung  \sigma_{ij} und Dehnung  \varepsilon_{ij} auf Makroebene verwenden [4, 5]:

Modellaufbau und Auswertung

Im Folgenden soll exemplarisch für eine Kelvin-Gitterzelle mittels einer simulierten Zug- sowie einer Schubbeanspruchung die Bestimmung der für eine Homogenisierung benötigten effektiven elastischen Konstanten mit Hilfe von Z88 Aurora® gezeigt werden. Die Geometrie des Gitters kann entweder manuell erzeugt werden oder in einigen CAD-Programmen aus einer Palette bereits vorgefertigter Zellen ausgewählt werden. Im betrachteten Fall wurde in Creo 9.0 eine würfelförmige Einheitszelle mit einer Kantenlänge von 10 mm erzeugt. Die Gitterstreben der in Abbildung 4 dargestellten Einheitszelle weisen einen Durchmesser von 1 mm auf.

Abbildung 4: Betrachtete Kelvin-Einheitszelle

Die Vernetzung der Gitterzelle kann sowohl mit den in Z88 Aurora® implementierten Meshern als auch extern erfolgen, beispielsweise in GMSH oder einem kommerziellen FE-Programm wie Abaqus oder Ansys. Die extern erzeugten FE-Netze müssen anschließend, abhängig von deren Format, über die entsprechende Import-Funktion nach Z88 überführt werden. Für eine Wahrung der Planaritätsbedingung müssen für die verschiedenen Belastungszustände Zwangsbedingungen vorgesehen und Flächen auf Referenzpunkte gekoppelt werden.

Virtueller Zugversuch in positive x-Richtung

Abbildung 5: Randbedingungen des virtuellen Zugversuchs mit einer Sperrung der Verschiebung in Zugrichtung und Zugkraft (a) und den Flächen, auf die zur Wahrung der Planaritäts- bzw. Parallelitätsbedingung mit Zwangsbedingungen beaufschlagt werden (b)

Abbildung 5 zeigt die betrachtete Einheitszelle mit Blick auf die xz-Ebene. Es müssen Randbedingungen erzeugt werden, die in gleicher Weise wirken wie das Material oder eine Gitterstruktur, aus dem die Zelle gedanklich entnommen ist. Für eine Wahrung der Planaritätsbedingung werden alle Knoten der Seitenflächen auf einen in dieser Fläche liegenden Referenzknoten gekoppelt. Es wird hierbei der Freiheitsgrad, der einer Verschiebung in Richtung der normal zur Seitenfläche stehenden Koordinatenachse entspricht, für Master- und Slave-Knoten gleichgesetzt. Zusätzlich muss noch für die Richtung, in der die Zugkraft wirken soll, an einer Seitenfläche die Verschiebung in Zugrichtung gesperrt und an der gegenüberliegenden die Kraft aufgegeben werden. Der übrige Modellaufbau unterscheidet sich nicht von dem für FE-Simulationen üblichen Vorgehen. Deshalb soll an dieser Stelle nicht weiter darauf eingegangen werden.

Die Ergebnisse des in Z88 simulierten uniaxialen Zugversuchs an einer Kelvin-Einheitszelle sind in den Abbildungen 6 und 7 dargestellt. Aufgrund der symmetrischen Gitterstruktur kann hier eine symmetrische Kontraktion in den Koordinatenrichtungen normal zur Zugrichtung beobachtet werden.

Abbildung 6: Ergebnis des virtuellen Zugversuchs in positive x-Richtung überlagert mit dem unverformten Netz (Seitenansicht)

Abbildung 7: Ergebnis des virtuellen Zugversuchs in positive x-Richtung überlagert mit dem unverformten Netz (Draufsicht)

Über das Hookesche Gesetz kann aus der simulierten Zugbeanspruchung der effektive Zug-E-Modul der Gitterstruktur bestimmt werden. Die Querkontraktionszahl in der Symmetrieebene kann aus dem negativen Quotienten der dort in Achsenrichtung vorherrschenden Dehnungen in Richtung der Koordinatenachsen berechnet werden. Für obigen Fall werden folgende Gleichungen verwendet:

 \sigma_{11} = E_{11} * \varepsilon_{11}

 \sigma_{11} = \frac{ F_{11}}{A}

 \nu_{12} = \frac{-\varepsilon_{22}}{\varepsilon_{11}}

Es sind hierbei \sigma_{11} und  E_{11} die Zugspannung resultierend aus der Zugkraft in x-Richtung  F_{11} bezogen auf die Seitenfläche der Einheitszelle  A und der Zug-E-Modul derselben in x-Richtung. Die Poissonzahl  \nu_{12} wird mithilfe der Dehnungen in x– und y-Richtung  \varepsilon_{11} und  \varepsilon_{22} bestimmt.

Virtueller Schubversuch in der xz-Ebene

Für die Modellierung einer Schublast auf die gewählte Einheitszelle ist neben den bereits eingeführten linearen Zwangsbedingungen eine starre Kopplung zweier gegenüberliegender Seitenflächen auf einen Referenzpunkt notwendig. So entsteht ein Scharnier, das für ein ebenes Verkippen der gekoppelten Seitenflächen sorgt. Jeweils zwei der normal zur betrachteten xz-Ebene liegenden Flächen werden mit aufeinander zulaufenden Schubkräften beaufschlagt, wie in Abbildung 8 c) dargestellt.

Abbildung 8: Randbedingungen des virtuellen Schubversuchs in der xz-Ebene mit einer Festhaltung in einem Knoten und Zwangsbedingungen auf Seitenflächen (a), einer starren Kopplung zweier Seitenflächen auf einen Referenzpunkt (b) und den Flächen, auf die die Schubbeanspruchung wirkt (c)

In Abbildung 9 ist das Ergebnis der in Z88 Aurora® simulierten Schubbelastung dargestellt. Eingezeichnet sind der Schubwinkel  \gamma_{13} und die Position des Referenzpunktes RP, auf den die Seitenfläche gekoppelt ist. Die Höhe des Referenzpunktes über der Grundfläche  h_{RP} entspricht dessen, um die schubbedingte Verschiebung in z-Richtung korrigierte Ausgangshöhe.

Abbildung 9: Ergebnis der in Z88 Aurora® simulierten Schubbelastung

Der Schubmodul in der xz-Ebene  G_{13} kann aus der Verschiebung eines der Referenzpunkte infolge der Schubbeanspruchung  u_s und der auf die gekoppelte Seitenfläche wirkenden Kraft berechnet werden. Aus  u_s und dem Abstand des Referenzknotens zur Grundfläche  h_{RP} , in diesem Fall die Fläche mit dem festgehaltenen Knoten, ist über einen Arkustangens der Schubwinkel  \gamma_{13} (siehe Abbildung 9) und schließlich  G_{13} zu bestimmen, wenn die Schubspannung  \tau_{xz} mit der aufgegebenen Schubkraft auf die Seitenfläche der Einheitszelle  A gleichgesetzt wird [6]. Die benötigten Gleichungen hierfür sind:

 \gamma_{13} = \frac{\tau_{13}}{G_{13}}

 \sigma_{11} = \arctan\left({\frac{u_{11,RP}}{h_{RP}}}\right)

 \tau_{13} = \frac{F_{Schub}}{A}

Dieser Beitrag entstand im Rahmen der Forschungsprojekte „Simulationsgestützte Entwicklung eines graduellen Sehnenersatzmaterials“ (Oberfrankenstiftung, P-Nr. 05266) und „Kaskadierter Monomaterialansatz zur automatisierten ressourceneffizienten Fertigung digitalisierter, personalisierter Anwendungen in Medizin, Sport und Lifestyle“ (BMWK).

Autoren: Thomas Schütt, Florian Hüter

 

 

 

 

 

Literatur

[1] L. J. Gibson und M. F. Ashby, Cellular Solids, Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

[2] C. Ensarioglu, A. Bakirci, H. Koluk und M. C. Cakir, „Metal Foams and Their Applications in Aerospace Components,“ in Materials, Structures and Manufacturing for Aircraft, Cham, Springer Nature Switzerland, 2022, p. 27–63.

[3] F. Hüter, J. Wittmann, C. Kleinschrodt, B. Alber-Laukant, F. Rieg, K. Koeck, V. Wicklein und T. Scheibel, „Strategie zur Modellierung des Steifigkeitsverhaltens partikelverstärkter, nichtlinear-elastischer Gradientenmaterialien,“ 16. Gemeinsames Kolloquium Konstruktionstechnik, pp. 120-131, 2018.

[4] F. Hüter, J. Wittmann, K. Koeck und V. Neubauer, Simulationsgestützte Entwicklung eines graduellen Sehnenersatzmaterials (Abschlussbericht), Universität Bayreuth, 2021.

[5] E. J. Barbero, Finite Element Analysis of Composite Materials Using Ansys, Boca Raton, FL: CRC Press, 2014.

[6] H. Mang und G. Hofstetter, Festigkeitslehre, Berlin, Heidelberg: Springer Vieweg, 2013.

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