Beispiel: Langerscher Balken

Als Langerscher Balken wird eine in sich verankerte Bogenbrücke bezeichnet. Die Konstruktionsart, auch Stabbogenbrücke oder verstärkter Balken genannt, wurde von dem Österreicher Josef Langer erfunden und 1859 in Wien patentiert. Sie kam erstmals 1881 bei der Grazer Murbrücke zur Anwendung.

Die Konstruktion besteht aus einer Kombination der Tragwirkung eines unten liegenden Balkens (Versteifungsträger) und eines darüber angeordneten schlanken Bogens, an dem der Balken mit Stäben angehängt ist. Der Bogen ist in dem Balken verankert, wodurch der Balken auch als Zugband wirkt. Der Bogen hat meist einen Stich zwischen einem Neuntel und einem Sechstel seiner Stützweite. Die Anzahl der Hänger bewegt sich im Regelfall zwischen 6 und 14, wobei aus ästhetischen Gründen meist eine gerade Anzahl bevorzugt wird. Meist werden zwei parallele Bögen seitlich neben der Fahrbahn angeordnet. Bei breiten Fahrbahnen sind aber auch drei möglich, bei der Donaubrücke Fischerdorf gibt es dagegen nur einen Bogen in Brückenmitte.

Für gleichmäßig verteilte Lasten ist der Langersche Balken durch die Bogentragwirkung eine sehr wirtschaftliche Konstruktion, ungleichmäßig verteilte Lasten bewirken vor allem Biegebeanspruchungen des Balkens. Er findet seine Anwendung meist bei größeren Stützweiten, bei denen die Höhendifferenz zwischen Fahrbahnoberkante und Konstruktionsunterkante möglichst klein sein soll. Im Regelfall besteht ein Langerscher Balken aus Stahl.

Mit 256 Meter Stützweite ist die Brücke der Solidarität die weitestgespannte Brücke dieser Konstruktionsart in Deutschland.“ [2]

Schema der Brücke [2]

Das folgende Beispiel ist Wagner/Erlhof [3], S.108ff entnommen:

Schema der Aufgabe

Weitere Daten nach [3]: Belastung durch Nutzlast p= 25 kN/m und Eigengewicht g= 20 kN/m ergibt eine Gesamtlast von q= 45 kN/m.

Querschnittswerte des Balkens: Izz= 500000 cm4 = 0.005 m4, A= 350 cm2 = 0.035 m2

Querschnittswerte der Stäbe: A= 250 cm2 = 0.025 m2

Gesucht seien die Stabkräfte S1 und S2 sowie die statisch Unbekannte X1, das ist die Horizontalkraft beim Schnitt des Stabs S3.

Normalerweise würden wir Gleichstreckenlasten derart berücksichtigen:

Mechanisches Modell

Solange aber keine besonderen Genauigkeitsanforderungen gestellt werden, reicht es, die Streckenlasten einfach als Einzellasten in der Mitte des Balkenstücks anzubringen, vgl. [4], S.571ff. Wir legen daher folgendes FE-Modell an:

FE-Modell

Dann wird jeweils an den Knoten 2, 4, 6, 8, 10 und 12 eine Einzelkraft

P= q l= 45 kN/m x 10 m= 450 kN

angebracht. Die Knoten 1 und 13 werden in X- und Y-Richtung bzw. nur in Y-Richtung festgehalten.

Wir haben es mit einer Kombination aus Balken und Stäben in der Ebene zu tun; dafür kämen die Elemente Nr.13 und Nr.9 aus Z88 in Frage. Nun beherrscht das natürlich der Statiksolver Z88R, aber Z88Aurora V2 kann (noch) nicht mit solchen Elementmischungen umgehen. Wir schildern daher zwei mögliche Wege:

Berechnung mit Z88Aurora V2:

Obwohl Z88Aurora V2 (noch) nicht mit solchen Elementmischungen umgehen kann, können wir die Aufgabe trotzdem sehr leicht damit lösen, und zwar, indem man die Stäbe durch sehr biegeweiche Balken (z.B. I nur ein Tausendstel der echten Balken) abbildet, ihnen also sozusagen nur Zug/Druckeigenschaften verpasst:

Balken 1 ~ 12: Izz= 0.005 m4, A= 0.035 m2

„Balken“ 13 ~ 23: Izz= 0.000005 m4, A= 0.025 m2

Das geht sehr schön und ist auch hinreichend numerisch stabil.

Beachten Sie übrigens bei den Bildschirmplots, dass hier Z88Aurora mit einem anderen GTK-Theme versehen wurde. Im Forum unter www.z88.de steht, wie das geht.

Definition der Elementparameter

 

Definition der Elementparameter

Wir sollten ein neues Material Stahl mit E= 2.06 108 kN/m2 definieren:

Materialdefinition

 

Der Rest der Angaben, wie die Eingabe der Knoten und Elemente sowie der Sets für die Randbedingungen ist Standard:

Definition der Randbedingungen

 

Rechnen und Anzeigen:

Darstellung der Berechnungsergebnisse

 

Man ermittelt aus Postprozessor > Ausgabedaten > Z88O4.TXT folgende Stabkräfte S1 und S2 sowie die statisch Unbekannte X1, das ist die Horizontalkraft beim Schnitt des Stabs S3:

S1 = (2592²+1154²)^1/2 = 2837 N ([3] ermittelt 2815 N)

S2 = (2592²+687²)^1/2 = 2681 N ([3] ermittelt 2582 N)

X1 = 2592 N ([3] ermittelt 2572 N)

Berechnung mit Z88V14OS

Z88I1.TXT:

2 18 23 49 0
1  3  0  0    0
2  3  5  0    0
3  3  10 0    0
4  3  15 0    0
5  3  20 0    0
6  3  25 0    0
7  3  30 0    0
8  3  35 0    0
9  3  40 0    0
10 3  45 0    0
11 3  50 0    0
12 3  55 0    0
13 3  60 0    0
14 2  10 4.45 0
15 2  20 7.1  0
16 2  30 8    0
17 2  40 7.1  0
18 2  50 4.45 0
1 13
1 2
2 13
2 3
3 13
3 4
4 13
4 5
5 13
5 6
6 13
6 7
7 13
7 8
8 13
8 9
9 13
9  10
10 13
10 11
11 13
11 12
12 13
12 13
13  9
1  14
14  9
3  14
15  9
14 15
16  9
5  15
17  9
15 16
18  9
7  16
19  9
16 17
20  9
9  17
21  9
17 18
22  9
11 18
23  9
18 13

Z88I2.TXT:

9
1  1  2  0
1  2  2  0
2  2  1  -450
4  2  1  -450
6  2  1  -450
8  2  1  -450
10 2  1  -450
12 2  1  -450
13 2  2  0

Z88ELP.TXT:

2
 1 12 0.035 0 0 0.005 0 0 0
13 23 0.025 0 0   0   0 0 0

Z88MAT.TXT:

1
1 23 51.txt

51.TXT:

2.06E8 0.3

 

Die Rechenergebnisse entsprechen übrigens ziemlich genau denen von Z88Aurora.

Quellen

[1] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Duisburg_Bruecke_der_Solidaritaet.jpg
[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Langerscher_Balken
[3] Wagner, W.; Erlhof, G.: Praktische Baustatik. Teil 3. 7.Auflage. B.G. Teubner Verlag. Stuttgart: 1984.
[4] Rieg, F.; Hackenschmidt, R.; Alber-Laukant, B.: Finite Elemente Analyse für Ingenieure. 4. Auflage. Carl Hanser Verlag. München: 2012.

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