Beispiel: Dreieckslast

Für einen einfach statisch unbestimmt gelagerter Balken mit symmetrischer Dreieckslast sollen die Auflagerkräfte und die Schnittmomente berechnet werden.

Analytische Berechnung

Analytisch lässt sich das Problem leicht lösen (Superposition oder Koppeltafel), und man erhält mit diesen Eingabedaten:

E= 206000 N/mm², I= 21.4 10⁶ mm⁴, q₀= 20 N/mm, L= 4000 mm:

 

Lagerkräfte: A= C= 8000 N, B= 64000 N

Schnittmoment bei B: –2.13 10⁷ Nmm

Lösung mittels Reduktionsverfahren

Am einfachsten ist die Verwendung des Reduktionsverfahrens (siehe [1], S.360ff), z.B. ZBALKEN von Rieg [1: CD-ROM]:

 

 

 

 

 

 

 

Wenn man Zwischenwerte haben will, um die Q- und M-Linie sauber zeichnen zu können, dann geht man hier z.B. in 1000-er Schritten vor und gibt ein:

x	L	q	qs
0	1000	0	+0.005
1000	1000	5	+0.005
2000	1000	10	+0.005
3000	1000	15	+0.005
4000	1000	20	–0.005
5000	1000	15	–0.005
6000	1000	10	–0.005
7000	1000	5	–0.005

Mit dem Reduktionsprogramm ZBALKEN berechnet man diese Lösung:

x	Bemerkung	Q	M	Psi	w
0		+8000	0	0.0024	0
1000		+5500	+7.17E6	0.0016	2.13
2000		–2000	+9.33E6	–0.0005	2.72
3000		–14500	+1.5E6	–0.0019	1.39
4000	vor Lager B	–32000	–.13E7	0	0
4000	nach Lager B	+32000	–2.13E7	0	0
5000		+14500	+1.5E6	0.0019	1.39
6000		+2000	+9.33E6	0.0005	2.72
7000		–5500	+7.17E6	–0.0016	2.13
8000		–8000	0	–0.0024	0

Finite-Elemente-Analyse

Nun soll diese Aufgabe mit Z88Aurora gelöst werden. Das ist natürlich viel zu aufwendig für diesen einfachen Fall, aber wie auch immer – bereiten wir das FE-Modell auf:

Die symmetrische Dreieckslast muss in zwei Dreieckslasten – aufsteigend und dann absteigend – zerlegt werden, und es müssen gesonderte Knoten 2, 3, 5 und 6 vorgesehen werden, weil sonst die statisch äquilvalenten Querkräfte sofort von den Lagern an den Knoten 1, 4 und 7 absorbiert werden. Statisch äquivalente Lasten für Streckenlasten sehen wie folgt aus; sie sind [2], S.108 entnommen:

Damit werden die statisch äquivalenten Kräfte und Momente:

Knoten	Set	Kraft	Moment
1	2	–12000
1	3		–10666667
3	4	–8000
3	5		+16000000
5	7	–28000
5	8		–16000000
6	9	–12000
6	10		+10666667

Damit haben wir alle Überlegungen beisammen und starten Z88Aurora. Nach Anlegen eines neuen Projekts gehen wir in den Praeprozessor und definieren zunächst Knoten und Elemente (da bieten sich die Balken in der Ebene Nr.13 an):

Anschließend werden die Sets im Praeprozessor angelegt:

Knoten 1: Set 1 (für das Lager A). Abwählen.

Knoten 2: Set 2 (für die stat. äquiv. Kraft) und Set 3 (für das stat. äquiv. Moment). Abwählen.

Knoten 3: Set 4 (für die stat. äquiv. Kraft) und Set 5 (für das stat. äquiv. Moment). Abwählen.

Knoten 4: Set 6 (für das Lager B). Abwählen.

Knoten 5: Set 7 (für die stat. äquiv. Kraft) und Set 8 (für das stat. äquiv. Moment). Abwählen.

Knoten 6: Set 9 (für die stat. äquiv. Kraft) und Set 10 (stat. äquiv. Moment). Abwählen.

Knoten 7: Set 11 (für das Lager C). Abwählen.

Nun brauchen wir noch ein Material mit E= 206000 N/mm2 und nue= 0.3 für Stahl. Legen Sie z.B. ein neues Material „Maschinenbau_Stahl“ an und weisen Sie es allen Elementen zu.

Jetzt wären noch die Randbedingungen zu definieren:

 

Set	Kraft	Verschiebung	X-Richt.	Y-Richt.	Z-Achse
1		0	*	*
2	–12000			*
3	–10666667				*
4	–28000			*
5	+16000000				*
6		0		*
7	–28000			*
8	–16000000				*
9	–12000			*
10	+10666667				*
11		0		*

 

Nun können Sie den Solver starten. Wählen Sie „Cholesky“ und „keine Vergleichsspannungen“.

 

Sodann gehen Sie nach Postprozessor > Ausgabedaten > Z88O4.TXT (das sind die Knotenkräfte) und interpretieren Sie die Ergebnisse:

Unterscheiden Sie sehr genau

– äußere Kräfte, z.B. die Lagerkräfte à „aufsummierte Knotenkräfte je Knoten“

– innere Kräfte, z.B. die Schnittkräfte und –momente à „Knotenkräfte elementweise“

 

Lesen Sie also die Lagerkräfte in der unteren Sektion „aufsummierte Knotenkräfte je Knoten“ ab:

– Knoten 1= Lager A: F(2) ist Kraft in Y-Richtung: +7998.5 N

– Knoten 4= Lager B: F(2) ist Kraft in Y-Richtung: +64003 N

– Knoten 7= Lager C: F(2) ist Kraft in Y-Richtung: +7998.5 N

Das Stützenmoment bei B finden Sie unter „Knotenkräfte elementweise“ bei Element Nr.3 mit –2.13E7 Nmm am Knoten 4 und natürlich auch am Element Nr.4 am Knoten 4. Und noch etwas sehen Sie, wenn Sie sich noch einmal die Q-Linie vergegenwärtigen:

Sie sehen am „linken“ Schnittufer bei Element Nr.3 eine Kraft F(2) von 32001.5 N und am „rechten“ Schnittufer bei Element Nr.4 ebenfalls eine Kraft F(2) von 32001.5 N. Deren Summe ergibt den Sprung in der Q-Linie, also die Lagerkraft mit 64003 N. So einfach kann Technische Mechanik sein!

Quellen

[1] Decker: Maschinenelemente. 18. Auflage. Carl Hanser Verlag. München: 2011.
[2] Rieg, F.; Hackenschmidt, R.; Alber-Laukant, B.: Finite Elemente Analyse für Ingenieure. 4. Auflage. Carl Hanser Verlag. München: 2012.